Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла — это 4 уравнения, которые описывают, как электрические и магнитные поля распространяются и взаимодействуют; т.е. эти уравнения (правила или даже законы) описывают процессы/взаимодействия электромагнетизма.

Эти правила описывают, как проходит управление поведением электрических и магнитных полей. Уравнения Максвелла показывают, что электрический заряд (положительный и отрицательный):

  1. Порождает электрическое поле (также если заряд изменяется со временем, то он вызывает появление электрического поля).
  2. В дальнейшем он вызывает появление магнитного поля.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Уравнение 1: Закон Гаусса или Теорема Гаусса

Первое уравнение Максвелла (в дифференциальной форме): div D = ρ
Первое уравнение Максвелла (в дифференциальной форме): div D = ρ

Дивергенция электрического поля равняется плотности заряда. Существует вязь между электрическим полем и электрическим зарядом.

Дивергенция в физике показывает, насколько данная точка пространства является источником или потребителем потока поля.

Очень кратко: Электрические поля расходятся от электрических зарядов: электрический заряд создаёт поле вокруг себя и, таким образом, действует как источник электрических полей. Это можно сравнить с краном, который является источником воды.

Ещё закон Гаусса говорит о том, что отрицательные заряды действуют как сток для электрических полей (способ, как вода стекает через отверстие стока). Это означает, что линии электрического поля имеют начало и поглощаются при электрическом заряде.

Заряды с одинаковым знаком отталкиваются друг от друга, а противоположные заряды притягиваются друг к другу (если есть два положительных заряда, они будут отталкиваться; а если есть один отрицательный и один положительный, они будут притягиваться друг к другу).

Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)

Второе уравнение Максвелла (в дифференциальной форме): rot E = — ∂B/∂t
Второе уравнение Максвелла (в дифференциальной форме): rot E = — ∂B/∂t

Можно создать электрическое поле, изменив магнитное поле.

Очень кратко: Закон Фарадея гласит, что изменяющееся магнитное поле внутри контура вызывает индуцированный ток, который возникает из-за силы или напряжения внутри контура. Это значит:

  1. Электрический ток порождает магнитные поля, а эти магнитные поля (вокруг цепи) вызывают электрический ток.
  2. Изменяющееся во времени магнитное поле вызывает распространение электрического поля.
  3. Циркулирующее во времени электрическое поле вызывает изменение магнитного поля во времени.

Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма

Третье уравнение Максвелла (в дифференциальной форме): div B = 0
Третье уравнение Максвелла (в дифференциальной форме): div B = 0

Дивергенция магнитного потока любой замкнутой поверхности равна нулю. Магнитного монополя не существует.

Закон Гаусса для магнетизма утверждает (очень кратко):

  1. Магнитных монополей не существует.
  2. Расхождение полей B или H всегда равно нулю в любом объёме.
  3. На расстоянии от магнитных диполей (это круговой ток) магнитные поля текут по замкнутому контуру.

Уравнение 4: Закон Ампера

Четвёртое уравнение Максвелла (в дифференциальной форме): rot H = j + ∂D/∂t)
Четвёртое уравнение Максвелла (в дифференциальной форме): rot H = j + ∂D/∂t

Магнитное поле создаётся с помощью тока или изменяющегося электрического поля.

Очень кратко: Электрический ток порождает магнитное поле вокруг тока. Изменяющийся во времени электрический поток порождает магнитное поле.

Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме

Вспомним сначала в дифференциальной форме и следом будет в интегральной форме.

Уравнение 1: Закон Гаусса (Теорема Гаусса)

Первое уравнение Максвелла (в дифференциальной форме): div D = ρ
Первое уравнение Максвелла (в дифференциальной форме): div D = ρ

Это же уравнение в интегральной форме:

уравнение в интегральной форме:
Первое уравнение в интегральной форме: ∮DdS = ∫ρdV

Поток вектора электрической индукции D через любую замкнутую поверхность равняется сумме свободных зарядов, охваченных этой поверхностью. Электрическое поле создаётся нескомпенсированными электрическими зарядами (это те, что создают вокруг себя своё собственное электрическое поле).

Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)

Второе уравнение Максвелла (в дифференциальной форме): rot E = — ∂B/∂t
Второе уравнение Максвелла (в дифференциальной форме): rot E = — ∂B/∂t

И это же уравнение в интегральной форме:

Второе уравнение Максвелла ∮Edl = -∫∂B/∂t dS
Второе уравнение Максвелла (в интегральной форме) ∮Edl = - ∫ ∂B/∂t dS

Циркуляция вектора напряжённости Е вихревого электрического поля (по любому замкнутому контуру) равняется скорости изменения магнитного потока через площадь контура (S) с противоположным знаком.

Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма

Третье уравнение Максвелла (в дифференциальной форме): div B = 0
Третье уравнение Максвелла (в дифференциальной форме): div B = 0

И это же уравнение в интегральной форме:

Третье уравнение Максвелла в интегральной форме: ∮BdS = 0
Третье уравнение Максвелла в интегральной форме: ∮BdS = 0

Силовые линии магнитного поля замкнуты, т.к. поток вектора индукции В магнитного поля через любую замкнутую поверхность равняется нулю.

Уравнение 4: Закон Ампера

Четвёртое уравнение Максвелла (в дифференциальной форме): rot H = j + ∂D/∂t
Четвёртое уравнение Максвелла (в дифференциальной форме): rot H = j + ∂D/∂t

И это же уравнение в интегральной форме:

Четвёртое уравнение Максвелла в интегральной форме: ∮Hdl = ∫ (j +∂D/∂t)dS
Четвёртое уравнение Максвелла в интегральной форме: ∮Hdl = ∫ (j +∂D/∂t)dS

Циркуляция вектора напряжённости Н магнитного поля по замкнутому контуру равняется алгебраической сумме токов, которые пронизывают этот контур. Магнитное поле создаётся не только током проводимости, но и переменным электрическим полем.

Узнайте также про Напряжённость электрического поля, Резонанс и Магнитную индукцию.