Что такое Интеграл

Интеграл — это математическая концепция, которая может быть двух типов:

  • неопределённый интеграл — это функция, которая получается интеграцией (это процесс, противоположный дифференцированию);
  • определённый интеграл выражает область, которая находится ниже кривой графика неотрицательной функции f и между любыми двумя значениями a и b.

Определённый интеграл выражает область под кривой графика неотрицательной функции f между любыми двумя значениями a и b, как показано на этом рисунке:

площадь под кривой графика функции (по оси x минимальный a и максимальный b)
Обычно в задании даётся функция (по ней делается график), максимальный x (это b) и минимальный x (это a).

Интеграл, определённый между a и b, представлен как: Знак определённого интеграла, как неопределённый, но с a и bf(x) dx

Неопределённый интеграл функции f — это другая функция F, полученная процессом, противоположным дифференцированию.

Дифференцирование в математике — это процесс, который превращает функцию f в другую функцию f’, называемую производной от f.

Например, нужно найти производную функции f(x) = cos x:

f’(x) = (cos x)’ = – sin x

Обозначение интеграла

Знак определённого интеграла: Знак определённого интеграла, как неопределённый, но с a и b

Знак неопределённого интеграла: ∫

Основные свойства интегралов

формула интеграла интеграл формулы

Решение интегралов

Первообразная функция

Это функция, у которой производная функция равна исходной.

Функция F(x) является первообразной для производной функции f(x), если выполняется равенство F'(x) = f(x) (в диапазоне I).

Например:

  • F(x) = cos x — это первообразная функции f(x) = – sin x, т. к. (cos x)’ = – sin x;
  • F(x) = x³ — это первообразная функции f(x) = 3x², т. к. (x³)’ = 3x².

Важная деталь, о которой нужно помнить: первообразные функции не являются единственными! В предыдущем примере первообразная функции 3x² равна x³, но x³ + 1 также является первообразной той же функции (3x²), потому что (x³ + 1)’= 3x².

Это означает, что неопределённый интеграл функции f является множеством всех её первообразных функций и представлен так:

∫ f(x) dx= F(x) + C,

где С — произвольная постоянная.

Неопределённый интеграл

Неопределённый интеграл выглядит примерно так ∫ f(x) d(x) и обозначает множество всех первообразных некоторой функции f(x).

Если F — некоторая частная первообразная, то:

∫ f(x) d(x) = F (x) + C,

где С — произвольная постоянная.

Например, нужно вычислить неопределённый интеграл:

∫ (2x – 1) dx = ∫2x dx – ∫1dx = 2 (x²/2) – x + C = x² – x + C.

Определённый интеграл

Определённый интеграл выглядит примерно так: Знак определённого интеграла, как неопределённый, но с a и bf(x) d(x).

С помощью определённого интеграла можно вычислить площадь геометрической фигуры, которая находится под кривой. Отрезок [a;b] называется отрезком интегрирования. Вместо a и b подставляются значения X (минимального и максимального). Например, как на этом рисунке:

площадь под кривой графика функции (по оси x минимальный a и максимальный b)

Решение определённого интеграла (формула Ньютона-Лейбница):

Знак определённого интеграла, как неопределённый, но с a и bf(x) dx = F(b) – F(a)

Например, нужно вычислить определённый интеграл:

Знак определённого интеграла, как неопределённый, но с -2 и 1(2 – x – x²) dx

1) Вычислить первообразную функцию

∫ (2 – x – x²) dx = 2x – x²/2 – x³/3 + C

2) Рассчитать верхний и нижний пределы (разницу между максимальным и минимальным значениями):

Знак определённого интеграла, как неопределённый, но с -2 и 1(2 – x – x²) dx = [2x – x²/2 – x³/3 + C]от -2 до 1= [2(1) – 1²/2 – 1³/3 + C] – [2(-2) – (-2)²/2 – (-2)³/3 + C] = (2 – 1/2 – 1/3) – (-4 –2 + 8/3) = 2 – 1/2 – 1/3 + 4 + 2 – 8/3 = 9/2 = 4,5.

Относительно нашего примера график будет выглядеть таким образом (a = -2 и b = 1 (по оси x)):

график a = -2 и b = 1 (по оси x)

Значит, площадь того, что закрашено на рисунке (под графиком), будет равна 4,5.

Узнайте про Математическое ожидание, Корреляции и Логарифмы.