Что такое Логарифм

Определение логарифма

Логарифм — это математическая функция, основанная на свойствах возведения в степень.

Значение логарифма соответствует показателю степени данной базы, равному положительному числу “b” в базе “a”, что также должна быть положительной и отличаться от 1.

Чтобы лучше понять концепцию логарифма, необходимо посмотреть на формулу логарифмического уравнения:

formula logarifmicheskogo uravnenia

“a” = основание, которое должно быть больше нуля (a > 0) и отличаться от единицы (a ≠ 1).

“b” = логарифмируемое число, где b должно быть больше нуля (b > 0).

“x” = логарифм.

В этом уравнении мы хотим найти, в какую степень (х) нужно возвести a, чтобы получилось b, т. е. aˣ = b.

Например :

log2_8=3 , потому что 2^3=8

Формулы и свойства логарифмов

Некоторые из основных правил логарифма:

  • Когда логарифмируемое число равно основанию логарифма, логарифм всегда будет равен 1 ;

    logaa=1

  • Логарифм с любым основанием, число которого равно 1, всегда будет иметь результат равным 0 ;

    loga1

  • Два логарифма с одинаковым основанием всегда будут иметь одинаковые числа ;

    logab=logac

  • Если основание "а" возведено в степень логарифма с основанием "а" числа "b", то он равен "b" ;

    a^log

  • В случае умножения чисел мы можем превратить их в сумму двух логарифмов с одинаковыми основаниями ;

    logaMN

  • А в случае деления чисел мы превращаем их в вычитание двух логарифмов с одинаковыми основаниями ;

    logaM/N

  • Правило возведения в степень: логарифм в степени упрощается путём умножения степени на логарифм, сохраняя её основание и число (тоже самое делается с логарифмом в квадрате)

    logamk

Формулы перехода к новому основанию:

Формулы перехода к новому основанию

Решение логарифмов — примеры

Вы можете посмотреть на этом видео от Your School несколько хороших примеров того, как решаются логарифмические уравнения:

Или такой примеррешения логарифмического неравенства от Валерия Волкова (Valery Volkov):

ОДЗ логарифма

В этом видео от "Алгебра 11 класс" Андрей прекрасно, на примерах рассказывает о том, как определить Область Допустимых Значений логарифма:

График логарифмической функции

Примерно таким образом может выглядеть график логарифмической функции (одна из линий на рисунке):

График логарифмической функции

Логарифм Непера или натуральный логарифм

Состоит из логарифма, основанного на иррациональном числе, которое называется "число Эйлера", пишется как "e" и приблизительно равно 2,718281. Является обратной функцией к экспоненциальной функции.

натуральный логарифм

Название логарифма ("логарифм Непера") произошло от имени его изобретателя — математика Джона Непера.

Десятичный логарифм

Это наиболее распространённая модель математических вычислений, особенно в так называемых логарифмических шкалах (или логарифмическом масштабе). Например: шкала pH, шкала Рихтера интенсивности землетрясений, шкала частоты звука — нотная шкала, и другие. И характеризуется тем, что основание (её логарифма) равно 10.

Десятичный логарифм может быть представлен без указания его основания.

Десятичный логарифм

История логарифма

Первоначально концепция логарифма была создана шотландским математиком Джоном Непером (1550–1617) в 17-м веке, с целью упрощения сложных тригонометрических расчётов.

Английский математик Генри Бриггс (1561–1630) также внёс свой вклад в исследования логарифма и считается одним из ответственных за улучшение десятичного логарифма и за создание его современной версии.

Этимологически слово "логарифм" образовано объединением двух греческих терминов: λόγος — "основание" и ἀριθμός — "число".

Смотрите также значение Корреляции.