Квадратное уравнение
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c, где a, b, c — некоторые числа (причём обязательно a ≠ 0),
В таком уравнении:
- x — переменная, которая присутствует в таком уравнении во второй степени,
- a — первый коэффициент,
- b — второй коэффициент,
- c — свободный член.
Ещё такое уравнение называется квадратный трёхчлен, т.к. самая большая степень в нём квадрат и он состоит из 3 одночленов.
Для решения таких уравнений сначала находится дискриминант по этой формуле:
Если:
- D < 0 <=> корней не существует,
- D = 0 <=> есть один корень,
- D > 0 <=> есть два корня.
Пример: x² – x – 3 = 0; a = 1, b = –1, c = –3, D = (–1)² – 4×1×(–3) = 1 + 12 = 13, D > 0 <=> есть два корня.
Когда уже точно известно, что корни существуют, и известно количество этих корней, можно приступить к их поиску с помощью этой формулы:
Пример: x² – x – 3 = 0; a = 1, b = –1, c = –3, D = 13.
X1,2 = ((–(–1)) ±√13)/(2×1) =>
x1 = (1 + √13)/2 ≈ (1 + 3,60555)/2 ≈ 2,302775
x2 = (1 – √13)/2 ≈ (1 – 3,60555)/2 ≈ -1,302775
Примеры
Пример 1
20x² – 15x – 10 = 0
Лучше сразу выписать так: a = 20, b = – 15, c = – 10.
1. Ищем дискриминант: формула D = b² – 4ac <=> D = (– 15)² – 4 × 20 × (– 10) = 225 + 800 = 1025; D > 0 <=> значит есть два корня.
2. Ищем эти корни: формула корней
2.1. Разбиваем формулу на две части, первый корень:
Уравнение 20x² – 15x – 10 = 0, где a = 20, b = – 15, c = – 10; D =1025.
x1 = ((–(–15)) + √ 1025)/(2×20) = (15 + 32,0156) / 40 ≈ 1,17539
2.2. Второй корень:
Уравнение 20x² – 15x – 10 = 0, где a = 20, b = – 15, c = – 10; D =1025.
x2 = ((–(–15)) – √ 1025)/(2×20) ≈ (15 – 32,0156) / 40 ≈ -0,42539
Пример 2
–x² +6x + 18 = 0
a = –1, b = 6, c = 18
Дискриминант D = b² – 4ac
D = 6² – 4×(–1)×(18) = 36 + 72 = 108, D > 0 <=> есть два корня
Ищем корни:
a = –1, b = 6, c = 18, D = 108
X1,2 = ((–6) ±√108)/(2×(–1)) =>
x1 = ((–6) +√108)/(–2) = ((–6) + 10,3923)/(–2) = – 2,19615
x2 = ((–6) –√108)/(–2) = ((–6) – 10,3923)/(–2) = 8,19615
Как разложить квадратный трёхчлен на множители?
Продолжим с примером уравнения 20x² – 15x – 10 = 0
Мы уже нашли корни
x1 ≈ 1,17539, x2 ≈ -0,42539
Выносим коэффициент x² за скобки, и оба корня ставятся с противоположными знаками таким образом:
20x² – 15x – 10 = 20 (x – 1,17539) (x+0,42539)
Хотите проверить? Открываем скобки и проверяем
20 (x – 1,17539) (x+0,42539) = 20 (x²–1,17539x + 0,42539x–0,42539×1,17539) = 20 (x²–0,75x – 0,4999991521) =
20 x²–15x–9,999983042
Погрешность в 0,000016958 должна быть из-за округления в предыдущих расчётах.
Виды квадратных уравнений
Полное и неполное квадратное уравнение
В полном уравнении присутствуют все три его члена (ax² + bx + c = 0). В противном случае уравнение неполное, например:
–x² – 9 = 0 (отсутствует bx)
x² + 16x = 0 (отсутствует с)
–5x² = 0 (отсутствуют bx и с)
Т.е. это когда коэффициент с = 0 или b = 0 (или оба одновременно равны нулю). Внимание: о том, что "a" может быть равно нулю, не говорится, т.к. таким образом уравнение станет линейным (ax + b = 0).
Как решать неполное квадратное уравнение?
Способ решения, когда b=0
5x² – 5 = 0
5x² = 5, делим всё на 5
x² = 1
x = ± √1 ⇔ x = 1 или x = –1
Первый способ решения, когда c=0 (это быстрый метод)
Пример:
x² + 16x = 0 (выносим x за скобки)
x (x + 16) = 0, таким образом, либо x = 0, либо то, что в скобках, равно нулю,
x = 0 или (x + 16)= 0
(x + 16)= 0 ⇔ x = – 16
Второй способ решения, когда c=0
Неполное уравнение (c=0, b=0 или когда оба равны нулю) можно решить по той же системе, как и полное, правильно выписав коэффициенты (но это долго и нерационально).
Например:
x² + 16x = 0
a = 1, b = 16, c = 0 (здесь отсутствует c, значит он равен нулю)
Дискриминант: D = b² – 4ac = 16² – 4×1×0 = 16² = 256 >0, есть два корня.
Ищем корни X1,2 = ((–b) ±√D)/(2×(a)) =>
X1,2 = ((–16) ± √256)/(2×(1)) =>
x1 = ((–16) + √256)/(2×(1)) = ((–16) + 16)/2 = 0
x2 = ((–16) – √256)/(2×(1)) = ((–16) – 16)/2 = –32/2 = – 16
Способ решения, когда b=0 и c=0
Например:
3x² = 0
Делим всё на 3
x² = 0
x = 0
Приведённое квадратное уравнение
Чтобы получить приведённое квадратное уравнение, нужно лишь разделить обе части уравнения на a:
x² + px + q = 0, где:
p = b/a
q = c/a
Примеры:
3x² – 6x = 0 (делим всё на 3) ⇔ x² – (6/3)x = 0 ⇔ x² – 2x = 0 (неполное приведённое)
2x² – 4x – 2 = 0 (делим всё на 2) ⇔ x² – (4/2)x – (2/2) = 0 ⇔ x² – 2x – 1 = 0 (полное приведённое)
Геометрический смысл решения корней квадратных уравнений
Корни квадратного уравнения ещё являются и нулями функции, т.е. если вы ищете нули функции (в каких точках функция пересекает ось Ox), то вы их найдёте именно через этот процесс: поймёте, если они существуют, рассчитав дискриминант, затем найдёте их, используя формулу корней.
Вспомним наш пример уравнения 20x² – 15x – 10 = 0.
Узнайте также, что такое Теорема Виета и Парабола.