Что такое Аксиома

Аксиома (от др. греч. ἀξίωμα (axioma) — значимое, принятое положение) — это правило, которое считается верным без необходимости представления доказательств.

Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, который предполагает разрабатывать аксиомы, а потом формулировать новые теоремы с помощью этих аксиом.

Теорема — это заявление, которое строится на аксиомах и других теоремах, доказанных ранее, и доказывается исходя из них.

Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.

Примеры

  • аксиома о параллельных прямых Евклида;
  • аксиома Архимеда;
  • аксиомы принадлежности (группа аксиом, которые связаны между собой отношением принадлежности между точками, прямыми и плоскостью);
  • аксиома существования треугольника, равного данному (какой бы ни был треугольник, существует другой треугольник, равный ему в заданном размещении относительно данной прямой); и др.

История аксиомы

Аксиоматический метод появился в древней Греции. Термин аксиома встречается у древнегреческих философов Аристотеля (384–322 гг. до н. э.) и Евклида (325–265 гг. до н. э.).

Аксиомы Евклида

Самой известной аксиомой Евклида была аксиома о параллельных прямых. Он сформулировал её в своей книге "Начала".

Аксиома звучит так: через любую точку, которая расположена вне данной прямой, можно провести только одну прямую параллельную данной.

Т. е. если дана прямая и любая точка (которая не лежит на этой прямой), то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.

аксиома Евклида

Следствия из аксиомы

У этой аксиомы два следствия:

  • прямая, пересекающая одну параллельную прямую, обязательно пересечёт и другую;
  • если две прямые параллельны третьей, то между собой они также параллельны.
прямая, пересекающая одну параллельную прямую, обязательно пересечёт и другую
прямая, пересекающая одну параллельную прямую,
обязательно пересечёт и другую
если две прямые параллельны третьей, то между собой они также параллельны
если две прямые параллельны третьей,
то между собой они также параллельны

Аксиома Архимеда

Для отрезков: если на прямой имеются два отрезка А (меньший из них) и B, то, складывая А достаточное количество раз, можно будет покрыть больший (B).

аксиома Архимеда

Другими словами, Архимед утверждал, что не существуют бесконечно малые и бесконечно большие величины. В качестве математической формулы аксиому можно записать так:

Aksioma Arkhimeda

где n — это натуральное число.

Теорема

Теорема (др.-греч. θεώρημα (theorema)) — теория, при доказательстве которой нужно опираться на аксиомы, другие теоремы и использовать логику.

Примеры:

  • теорема Пифагора;
  • теорема косинусов;
  • теорема синусов.

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Одно из возможных доказательств этой теоремы гласит: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов.

Теорема косинусов

Для плоского треугольника: квадрат одной стороны треугольника равняется сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема косинусов

То есть, если у нас есть плоский треугольник с тремя сторонами a, b и c и углом альфа (α), который находится напротив стороны a (как показано на картинке ниже),

Теорема косинусов

то справедливо следующее равенство: квадрат стороны a равен сумме квадратов двух других сторон (b и c) минус их удвоенное произведение на косинус угла между ними (α) (как показано на формуле сверху).

Следствия из теоремы:

  • следствие теоремы косинусов
  • при b² + c² – a² > 0 угол α будет острым;
  • при b² + c² – a² = 0 угол α будет прямым (в этом случае речь идёт уже о теореме Пифагора);
  • при b² + c² – a² < 0 угол α будет тупым.

Теорема синусов

Теорема звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

теорема синусов

Формула выглядит так:

теорема синусов

Есть также расширенная теорема синусов. Формула выглядит так:

расширенная теорема синусов

a, b, c — стороны треугольника; α, β, γ — углы, которые находятся на противоположной стороне от этих сторон; R — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Узнайте также, что такое Число Пи и Логарифм.

Правовая аксиома

Это правило, которое рассматривается как истина, не допускает иного толкования. По мнению некоторых учёных-правоведов, они закреплены в официальных документах — нормативно-правовых актах. Например, в Конституции России:

  • каждый имеет право на жизнь;
  • осуществление прав и свобод человека и гражданина не должно нарушать права и свободы других лиц;
  • каждому гарантируется свобода мысли и слова; и др.

По мнению других учёных, такие правила появились как результат общественных отношений. Например:

  • что не запрещено, то разрешено;
  • закон обратной силы не имеет;
  • суд выслушивает обе стороны; и др.

Узнайте также, что такое Догма.