Теорема косинусов
Теорема косинусов — в любом треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон на косинус угла между ними.
Формула косинуса:
- a² = b² + c² – 2b.c.cosα
- b² = a² + c² – 2a.c.cosβ
- c² = a² + b² – 2a.b.cosγ
Например:
Одна сторона треугольника равна 12 см, другая — 8 см, между ними образовался угол 120º. Найдите длину третьей стороны.
Решение по формуле a² = b² + c² – 2b.c.cosα:
b = 12 см
c = 8 см
cos α = cos 120º = - 1/2 (это значение можно найти в таблицах)
a² = 12² + 8² – 2×12×8×(- 1/2)
a² = 144 + 64 – (–96)
a² = 304
a = √304
a ≈ 17,436
Длина третьей стороны — примерно 17,436 см.
Следствия
Следствие косинуса угла треугольника
При помощи теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника.
Формула:
Либо
Либо
Например:
сторона c = 6
сторона b = 7
сторона a = 8
Используйте теорему косинусов, чтобы найти угол β.
Решение:
Будем использовать эту версию формулы:
cos β = (6² + 8² − 7²) / 2×6×8
= (36 + 64 − 49) / 96
= 51 / 96
= 0,53125
= cos¯¹(0,53125)
≈ 57,9°
Следствие верхней части формулы cos α
Чтобы узнать, если угол α острый, прямой или тупой, нужно вычислить b²+c²−a² (это верхняя часть формулы для cos α):
- b²+c²−a²<0, значит угол α — тупой;
- b²+c²−a²=0, значит угол α — прямой;
- b²+c²−a²>0, значит угол α — острый.
Доказательство теоремы косинусов
Нужно доказать, что c² = a² + b² − 2a.b.cos C
1. Из определения косинуса известно, что в прямоугольном треугольнике BCD: cos C = CD/a <=> CD = a.cos C.
2. Вычитаем это из стороны b, так мы получим DA:
DA = b − a.cosC
3. Мы знаем из определения синуса, что в том же треугольнике BCD:
sin C = BD/a <=> BD = a.sinC.
4. Применяем теорему Пифагора в треугольнике ADB: c² = BD² + DA²
5. Заменим BD и DA из пунктов 2) и 3), получится выражение: c²= (a. sin C)²+(b−a.cos C)²
6. Раскрываем скобки: c² = a² sin ²C + b² − 2a.b.cosC + a².cos²C
6.1. Поменяем их местами (a²cos²C поставим на второе место): c² = a² sin ²C + a²cos²C + b² − 2a.b.cosC
7. Выносим за скобки "a²": c² = a² (sin²C+cos²C) + b² − 2a.b.cosC
8. В скобках получилось основное тригонометрическим тождество (sin²α + cos²α = 1), значит его можно сократить т. к. умножение на единицу ничего не меняет, получилось: c² = a² + b² − 2a.b.cos C
Q.E.D.
Теорема косинусов для равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике:
- две его стороны равны;
- углы при основании равны.
Рассмотрим пример:
Используем формулу теоремы косинусов
a² = b² + c² – 2b.c.cosα
Подставляем все известные:
x² = 8² + 8² – 2×8×8×cos140º
x² = 64 + 64 – 128 × (-0,766)
x² ≈ √226,048
x ≈ 15,035.
Теорема синусов
Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу угла, противолежащего данной стороне, одинаково для всех сторон и углов в данном треугольнике:
Узнайте также, что такое Теорема Пифагора и Теорема Менелая.