Теорема Ферма

Существует Малая теорема Ферма́ и Великая теорема Ферма́.

Малая теорема Ферма: если p — простое число, то для любого целого числа a, не делящегося на p, делится на p число:

a^(p-1) - 1

Великая теорема Ферма утверждает, что данная формула не имеет решений в натуральных числах x, y, z для n > 2 :

x^n + y^n = z^n Уравнение Великой теоремы Ферма

Доказательство Великой теоремы Ферма для всех простых чисел было найдено в 1993 году англо-американским математиком Сэром Эндрю Джоном Уайлсом (детально, формально и окончательно в 1995).

Применение уравнения Ферма (Великой теоремы Ферма): в процессе его изучения была создана вся система современного шифрования и кодирования (кодовые замки, банковские карты и т. д.).

Малая теорема Ферма

Малая теорема Ферма — это частный случай теоремы Эйлера и используется в элементарной теории чисел (это раздел теории чисел).

Малая теорема Ферма гласит, что если p — простое число, то для любого целого числа a, не делящегося на p, это число делится на p:

a^(p-1) - 1

Формально Малая теорема Ферма часто обозначается так: a^(p-1)=1(modp)

Это то же самое, что и предыдущая формулировка.

Пример Малой теоремы Ферма

Пример Малая теорема Ферма

Великая теорема Ферма

Уравнение Великой теоремы Ферма:

x^n + y^n = z^n Уравнение Великой теоремы Ферма

для n > 2, оно не имеет решений в натуральных числах x, y, z.

Для n = 2 мы знаем теорему Пифагора, где существует целое множество решений (формула c² = a² + b²), а с n > 2 многие самые великие умы математики боролись больше 300 лет, пока в 1993 году доказательство для всех n > 2 не было найдено Сэром Эндрю Джоном Уайлсом.

Узнайте подробнее про теорему Пифагора.

Доказательство Великой теоремы Ферма (Уайлса)

Доказательство Сэра Эндрю Джона Уайлса сформировано на идее изучения уравнений типа y² = x³ + αx + β. Оно даёт фигуру на графике примерно такой формы:

Доказательство Великой теоремы Ферма
Это изображение для y² = x³ – 5x + 5

Потом изучается пересечение рациональных точек с этими графиками. Обе координаты должны являться дробями и две эти порождают третью, таким образом:

Доказательство Великой теоремы Ферма
Здесь изображено пересечение графиков:
y² = x³ – 5x + 5;
x= 6y – 5.
Точки 1 и 2 дают точку 3.

Кем был математик Ферма?

Француз Пьер де Ферма́ (1601–1665) по профессии был юристом, а математика была больше его увлечением. Он открыл основной принцип аналитической геометрии. Ферма является соучредителем теории вероятностей. Ещё он считается изобретателем дифференциального исчисления из-за его методов нахождения касательных к кривым и их точек максимума и минимума.

Существует легенда о том, что около 1630 года Ферма написал заметку примерно такого содержания на полях одной книги "Я обнаружил поистине замечательное доказательство, но поля книги слишком узки, чтобы его можно было вместить."

Узнайте также про Теорию вероятностей, Производную, Теорию струн и Интеграл.