Что такое Логарифм

Логарифм — это математическая функция, основанная на свойствах возведения в степень.

Значение логарифма соответствует показателю степени данной базы, равному положительному числу “b” в базе “a”, что также должна быть положительной и отличаться от 1.

Чтобы лучше понять концепцию логарифма, необходимо посмотреть на формулу логарифмического уравнения:

“a” = основание, которое должно быть больше нуля (a > 0) и отличаться от единицы (a ≠ 1).

“b” = логарифмируемое число, где b должно быть больше нуля (b > 0).

“x” = логарифм.

В этом уравнении мы хотим найти, в какую степень (х) нужно возвести a, чтобы получилось b, т. е. aˣ = b.

Например :

, потому что

Формулы и свойства логарифмов

Некоторые из основных правил логарифма:

• Когда логарифмируемое число равно основанию логарифма, логарифм всегда будет равен 1 ;

• Логарифм с любым основанием, число которого равно 1, всегда будет иметь результат равным 0 ;

• Два логарифма с одинаковым основанием всегда будут иметь одинаковые числа ;

• Если основание "а" возведено в степень логарифма с основанием "а" числа "b", то он равен "b" ;

• В случае умножения чисел мы можем превратить их в сумму двух логарифмов с одинаковыми основаниями ;

• А в случае деления чисел мы превращаем их в вычитание двух логарифмов с одинаковыми основаниями ;

• Правило возведения в степень: логарифм в степени упрощается путём умножения степени на логарифм, сохраняя её основание и число (тоже самое делается с логарифмом в квадрате)

Формулы перехода к новому основанию:

Решение логарифмов — примеры

Пример 1

Пример 2

ОДЗ логарифма

Как определить Область Допустимых Значений логарифма:

Для определения ОДЗ логарифма мы обращаем внимание только на то, что стоит в скобках, и указываем, что вся эта часть больше ноля.

График логарифмической функции

Примерно таким образом может выглядеть график логарифмической функции (одна из линий на рисунке):

Свойства логарифмической функции :

• E (y) = R, множество значений — все действительные числа;
• область определения — множество всех положительных чисел D(y): (0;+∞);
• её график всегда проходит через точку (1;0);
• она не считается ни чётной, ни нечётной;
• у неё нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
• она не ограничена ни сверху, ни снизу;
• если 0<а<1 => функция убывает, а если a>1 => функция возрастает.

Логарифм Непера или натуральный логарифм

Состоит из логарифма, основанного на иррациональном числе, которое называется "число Эйлера", пишется как "e" и приблизительно равно 2,718281. Является обратной функцией к экспоненциальной функции.

Название логарифма ("логарифм Непера") произошло от имени его изобретателя — математика Джона Непера.

Десятичный логарифм

Это наиболее распространённая модель математических вычислений, особенно в так называемых логарифмических шкалах (или логарифмическом масштабе). Например: шкала pH, шкала Рихтера интенсивности землетрясений, шкала частоты звука — нотная шкала, и другие. И характеризуется тем, что основание (её логарифма) равно 10.

Десятичный логарифм может быть представлен без указания его основания.

История логарифма

Первоначально концепция логарифма была создана шотландским математиком Джоном Непером (1550–1617) в 17-м веке, с целью упрощения сложных тригонометрических расчётов.

Английский математик Генри Бриггс (1561–1630) также внёс свой вклад в исследования логарифма и считается одним из ответственных за улучшение десятичного логарифма и за создание его современной версии.

Этимологически слово "логарифм" образовано объединением двух греческих терминов: λόγος — "основание" и ἀριθμός — "число".

Смотрите также значение Корреляции.