Что такое Метод Крамера

Метод Крамера — это метод решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с одинаковым количеством уравнений и переменных.

Метод Крамера нельзя использовать, когда определитель основной матрицы равен 0 (в этом случае применяется метод Гаусса).

Как решить систему линейных уравнений методом Крамера

Пример

Нужно решить систему линейных уравнений:

2x + 1y + 1z = 3

1x – 1y – 1z = 0

1x + 2y + 1z = 0

1. Нужно найти главный определитель

2. Теперь заменяем по очереди каждый из столбцов на столбец ответов:

В первую колонку, для x и вычисляем определитель:

Во вторую колонку, для y и вычисляем определитель:

В третью колонку, для z и вычисляем определитель:

Последний шаг: нужно разделить каждый на главный определитель.

То есть:

x = Δx ÷ Δ = 3 ÷ 3 = 1

y = Δy ÷ Δ = (-6) ÷ 3 = -2

z = Δz ÷ Δ = 9 ÷ 3 = 3

Как вычислить определитель?

Матрицы 2 × 2

Матрицы 3 × 3

Существует несколько способов вычисления определителя матрицы 3 × 3. Этот способ, под названием правило Саррюса, выглядит наиболее простым.

Нужно найти определитель матрицы 3 × 3

1. Дополнить матрицу первыми двумя столбцами (т. е. скопировать первые 2 столбца и дополнить её):

2. Умножить и сложить по диагоналям вниз:

3. Умножить и сложить по диагоналям вверх:

4. Из первой суммы (зелёной, по диагонали вниз) вычесть вторую (красную, по диагонали вверх): 8 - 2 = 6, т. е. det (A) = 6.

Узнайте про Интегралы, Логические операции и Корреляции.