Что такое Парабола

Парабола (от греч. παραβολή — сравнение, приближение, кривая линия) — в геометрии это плоская кривая линия (в форме арки), где каждая из точек M (на рисунке ниже) равноудалена от неподвижной точки F (фокус) и от неподвижной линии DA, называемой директрисой (MF = MA).

Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром параболы и обозначается как p.

Также это кривая, которую описывает вылетевший снаряд.

В литературе парабола — это аллегория, под которой скрывается важная истина.

Как выглядит парабола, когда меняется фокальный параметр (p)

Изменения фокального параметра, когда фокус находится на оси OX:

Изменения фокального параметра, когда фокус находится на оси OY:

Квадратичная функция и как построить график параболы

Квадратичная функция выглядит следующим образом:

y = ax² + bx + c, где a≠0

(a — старший коэффициент; b — второй коэффициент; с — свободный член).

Построение графика квадратичной функции

Шаги построения графика

1. Как определить, куда направлены ветви параболы

Т. е. a (старший коэффициент) в данном случае равен 1, b (второй коэффициент) и c (свободный член) оба равны 0.

Ветви параболы будут направлены вверх, когда a > 0.

А в данном случае a = –1 (b = 0, с = 0).

Ветви параболы будут направлены вниз, когда a < 0.

2. Как определить нули функции (значения х, где функция равна нулю)

Так как ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ, равна нулю, значит нужно решить уравнение f (x) = 0. Т. е. ax² + bx + c = 0

Для этого нужно найти дискриминант по этой формуле: D = b² – 4ac, который определит количество корней квадратного уравнения.

• Если D < 0, то у квадратичной параболы нет точек пересечения с осью ОХ (она расположена выше или ниже оси ОХ и не дотрагивается до неё);
• Если D = 0, то квадратичная парабола имеет только одну точку пересечения с осью ОХ;
• Если D > 0, то у квадратичной параболы будут две точки пересечения с осью ОХ, которые можно найти по этим формулам:

3. Как вычислить координаты вершины параболы

Формулы для их вычисления:

4. Как посчитать точку пересечения параболы с осью OY

Точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c). Так как абсцисса любой точки, лежащей на оси OY, равна нулю.

Чтобы найти точку пересечения параболы с осью OY, нужно всего лишь в вашу формулу вида ax² + bx + c вместо х подставить ноль.

Пример построения графика квадратичной функции

Например, нужно построить график квадратичной функции y = x² − 7x + 10.

1) Если квадратичная функция выглядит как y = ax² + bx + c, получается, в нашем случае: a = 1, b = −7, c = 10.

a = 1, а это a > 0, следовательно ветви параболы будут направлены вверх

2) Определяем нули функции, это значит ax² + bx + c = 0, в нашем случае: x² − 7x + 10 = 0

Ищем дискриминант по формуле: D = b² − 4ac, это D = (−7)² − 4*1*10 = 49 − 40 = 9

Потом вычисляем х1 и х2:

х1 = (−b + ²√D) / 2a = (7 + ²√9) / (2*1) = 5

х2 = (−b − ²√D) / 2а = (7 − ²√9) / (2*1) = 2

3) Вычисляем координаты вершины параболы:

х0 = −b / 2a = 7 / (2*1) = 3,5

y0 = −D / 4а = −9 / (4*1) = −2,25

4) Точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c), следовательно, если c = 10, она пересекает её на (0;10).

Таким образом, получилась парабола такого вида:

Свойства квадратичной функции y = x²

График функции y = x² выглядит следующим образом:

Свойства

1) Область определения функции y = x² — множество всех действительных чисел, т. е. D(y) = R = (−∞; +∞).

2) Множество значений функции — положительная полупрямая: E(y) = [0; +∞).

3) В точке x = 0 (и y = 0) функция принимает минимальные значения (наибольшего значения у функции нет).

Эта точка (с координатами (0;0)) является вершиной параболы; одновременно точка (0;0) является единственной общей точкой параболы с осями координат (начало координат).

4) Функция у = x² чётная, график симметричен относительно оси Оу, т. е. f(−x) = (−x)² = x² = f(x).

5) Функция непрерывна на всей области определения. На (−∞; 0) функция монотонно убывает, а на (0; + ∞) функция монотонно возрастает.

6) Функция у = x² непериодическая.

7) Единственный нуль функции — значение аргумента x = 0.

8) Функция у = x² не имеет асимптот.

9) Функция принимает положительные значения на всех точках параболы, кроме начала координат, т. е. в: (−∞;0) ∪ (0;+∞).

Узнайте также, что такое Экспонента, Аксиома, Корреляция, Логарифм и Гипербола в математике.