Теорема Менелая

Теорема Менелая показывает соотношение сторон треугольника, которое получается, когда прямая пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей.

С помощью этой теоремы можно получить соотношения сторон треугольника и доказать коллинеарность точек, которые находятся на данном треугольнике (на двух сторонах и продолжении третьей).

Коллинеарными точками называются три или более точки, которые лежат на одной прямой.

Теорема Менелая гласит:

BD/DC * CE/EA * AF/FB = 1

Шаг 1. Есть треугольник ABC. Прямая пересекает две стороны треугольника, таким образом, что она не проходит через вершину треугольника (на нашем рисунке это розовая линия). Таким образом получились две точки пересечения прямой с двумя сторонами треугольника (точки E и D). Третью сторону (AB) нужно продолжить до пересечения (получилась точка пересечения F).

Шаг 2. Берём точку треугольника и начинаем двигаться в другую точку треугольника, проходя через точку пересечения (потом делим один на другой): BD/DC

Обратите внимание, что в такой записи видно точку пересечения посередине ("DD"), а B и C (сторона треугольника, по которой мы идём) по бокам. Т. е. мы идём из B к C через D. Можно написать точки стороны, по которой мы идём ("BC"), оставив небольшое место между ними, и потом вставить между ними дважды точку пересечения со знаком дроби ("D/D").

В записи дробью точка, через которую мы идём повторяется наискосок.

На рисунке обозначить карандашом стрелочками по какой стороне мы уже прошлись и в какую сторону, и не запутаетесь.

Шаг 3. Идём дальше по треугольнику, делаем сторону CA — это будто прийти от C к A через E, что получается CE/EA.

Эти две стороны умножаются и в тетради, записывается всё вместе:

BD/DC * CE/EA

Шаг 4. Теперь делаем сторону AB через точку F — из A мы сначала пойдём в F, а потом уже вернёмся к B, получится так: AF/FB.

Шаг 5. Перемножаем всё вместе:

BD/DC * CE/EA * AF/FB

Теорема Менелая гласит:

BD/DC * CE/EA * AF/FB = 1

Доказательство теоремы Менелая

Есть много способов доказать эту теорему, этот называется "Доказательство с подобными треугольниками":

Проводим линию, которая параллельна QN через точку A, чтобы пересечь сторону BC в точке M.

Теорема Менелая пример (задача с решением)

Есть треугольник АВС. На стороне ВС стоит точка L, такая, что LC = 3BL. За точку А идёт продолжение стороны АС, где взята точка М, таким образом, что МА = АС. Прямая ML пересекает АВ в точке F.

Найдите соотношение BF/FA:

1. Мы знаем, что МА = АС, LC = 3BL.

Пусть:

MA = AC = e,

BL = k, LC = 3k.

2. Прямая ML пересекает две стороны треугольника АВС и является продолжением третьей, значит по теореме Менелая:

Что такое теорема Чевы?

Пусть на сторонах треугольника ABC отмечены точки A’, B’ и C’. Отрезки AA’, BB’ и CC’ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда справедливо равенство:

Заметьте, что логика та же самая: идём из А в С через В’ и т. д.

Чевиана — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Узнайте про Теорему Виета и Схему Горнера.